In diesem Artikel werden wir den so genannten Virialsatz herleiten. Dieser Satz stellt eine Beziehung zwischen den zeitlichen Mittelwerten der kinetischen und potentiellen Energie eines Mehrteilchensystems her.

\fed\mixonWir werden im Folgenden ein n-Teilchensystem betrachten, in welchem vec(r)_i den Ort und vec(p)_i den Impuls des i-ten Teilchen angibt.
\fedon\mixon\lr(D1)\single\frame\blue\big\Definition__\black\stress (Virial)\normal
Wir definieren die Größe V und nennen sie Virial__:
\frameoff\ | V(t):= sum(vec(r)_i(t) vec(p)_i(t),i=1,n)
\fedoff
\fedon\mixonFalls kein Teilchen ins Unendliche entweicht (vec(r)\mapsto \infty), oder einen unendlichen Impuls bekommt, ist das Virial V beschränkt.
\fedoff
\fedon\mixon\lr(D2)\single\frame\blue\big\Definition__\black\stress (zeitlicher Mittelwert)\normal
Der zeitliche Mittelwert f^- einer Funktion f(t) ist definiert als:
\frameoff\ |f^- := lim(\Delta->\inf,\( 1/(2\Delta) int(f(t),t,-\Delta,+\Delta)\))
\fedoff
\fedon\mixonAus Definition ref(D2) folgt für den zeitlichen Mittelwert V^*^- von V^*:
\align\ V^*^- = lim(\Delta->\inf, ) 1/(2\Delta) int(dV(t)/dt,t,\-\Delta,\+\Delta )

lim(\Delta->\inf, ) (V(\Delta)-V(-\Delta))/(2\Delta)

\lr(1)= 0
\stopalign
Andererseits gilt für V^*:

 |     |\lr(2)V^*(t) = sum(vec(r^*)_i(t) vec(p)_i(t),i) + sum(vec(r)_i(t) vec(p^*)_i(t) ,i)

Mit

 |     | sum(vec(r^*)_i(t) vec(p)_i(t),i) = sum(m_i vec(r^*)_i^2,i) = sum(2 T_i,i) := 2T

und

 |     | vec(p^*)_i(t) = vec(F)_i(t) = -\Nabla_i U

\(wobei vorausgesetzt wurde, dass die vec(F)_i durch das entsprechende Potential U dargestellt werden können \[also konservativ sind\]\) folgt aus ref(2):

 |     |V^*(t) = 2T - sum(vec(r)_i \Nabla_i U ,i)

Also zusammen mit ref(1):

 |     |\lr(3)V^*^-(t) = 2 T^- - (sum(vec(r)_i \Nabla_i U ,i))^- = 0

\fedoff
\fedon\mixonFalls für das Potential U und eine beliebige konstante \lambda gilt:

 |     |\lr(4)U(\lambda vec(r)_1 , ... , \lambda vec(r_n)) = \lambda^k U(vec(r)_1 , ... , vec(r)_n)

U also eine (homogene Funktion)__ vom Grad k ist, so folgt für die Ableitung der linken Seite von ref(4) nach \lambda:

 |     | diff(U,\lambda) = sum(\Nabla_i U* (\partial \lambda vec(r)_i)/(\partial \lambda),i=1,n) = sum(\Nabla_i U * vec(r)_i,i=1,n)

und für die rechte Seite von ref(4):

 |     | diff((\lambda^k U(vec(r)_1 , ... , vec(r)_n)),\lambda) = k \lambda^(k-1) U(vec(r)_1 , ... , vec(r)_n)

Da \lambda beliebig ist, dies also insbesondere auch für \lambda=1 gilt, folgt:

 |     |\lr(5)sum(vec(r)_i \Nabla_i U,i) = k U

Damit wird aus ref(3):
\fedoff | | 2T - k U^- = 0
\fedon\mixon\lr(S1)\red\triple\frame\red\big\Satz__\black\stress (Virialsatz)\normal

 |                       | 2 T^- - k U^- = 0

\frameoff
\fedoff
Zum Schluss noch ein Beispiel:
\fedon\mixon\single\frame\green\big\Bespiel__
Für das Potential U des Keplerproplems gilt:

 |     | U ~~ r^(-1)

Mit ref(5) folgt für k:

 |     | k=-1

Also:

 |     |2 T^- + U^- = 0
 |     |T^- + T^- + U^- = 0
 |     |T^- + E^- = 0

\frameoff | | =>U^- = -2 T^- = 2E
\fedoff

Kategorie: Uni | Physik | Mechanik