Noether Theorem in der Mechanik

Dieser Artikel leitet das Noether-Theorem der Mechanik her. Das Noether-Theorem stellt für die moderne Physik ein wichtiges Ergebnis dar, denn es erlaubt Erhaltungsgrößen zu finden.

Gegeben sei , die i-te generalisierte Koordinate eines N Teilchensystems mit f=3N-k Freiheitsgraden. Wir nehmen an, dass differenzierbar ist.
\fedon\mixon\lr(D1)\single\frame\blue\big\Definition__\black\stress (Koordinatentransformation)\normal
Sei \alpha\in\IR, wir definieren:

 |     | q_i \mapsto q'_i := q'_i(q_1,...,q_f,t,\alpha)

Diese Transformation sei \stress\invertierbar\normal und für ihre Inverse soll gelten:

 |     | q'_i \mapsto q_i := q_i(q'_1,...,q'_f,t,\alpha)

Für \alpha=0 soll die identische Transformation vorliegen das heißt:
\frameoff\ | q'_i(q_1,...,q_f,t,\alpha=0):=q_i
\fedoff
\fedon\mixon\lr(D2)\single\frame\blue\big\Definition__\normal
Wir benutzen von nun an die folgende \stress\Abkürzung\normal\:

 |     | \{q_1,...,q_f \}:=q

Für die Transformationen können wir also schreiben:

 |     | q'_i(q_1,...,q_f,t,\alpha)=q'_i(q,t,\alpha)

und
\frameoff\ | q_i(q'_1,...,q'_f,t,\alpha)=q_i(q',t,\alpha)
\fedoff

Was es mit dem α auf sich hat, sehen wir an folgendem Beispiel:
\fedon\mixon\single\frame\green\big\Bespiel__
Wir betrachten die generalisierte Koordinate q=\phi, welche für den Azimutwinkel steht.
Die Transformation

 |     | \phi \mapsto \phi\' = \phi + \alpha

repräsentiert also eine Drehung um die z-Achse.
Beachte, dass für \alpha=0 wie von \ref(D1) gefordert gilt:
\frameoff\ | \phi\' = \phi
\fedoff

Wie man in dem Artikel Von d´Alembert zu Lagrange II nachlesen kann, gilt für die Lagrange-Funktion und die Lagrange-Gleichungen:
\fedon\mixon\lr(D3)\single\frame\blue\big\Definition__\black\stress (Lagrange-Funktion)\normal

 |     | \dsL := T-V

wobei
\frameoff\ | \dsL = \dsL(q,q^*,t)
\fedoff
\fedon\mixon\lr(S1)\single\frame\red\big\Satz__\black\stress (Lagrange-Gleichungen)\normal
Die Lagrange-Gleichungen lauten:
\frameoff\ |d/dt pdiff(\dsL,q^*_i)-pdiff(\dsL,q_i)=0
Wir können also die Lagrange-Funktion in den neuen Koordinaten ausdrücken:
\lr(1) | | \dsL(q,q^*,t) = \dsL(q(q',t,\alpha),q^*(q',t,\alpha),t) := \dsL '(q',q^*',t,\alpha)
Betrachten wir nun die partielle Ableitung von \ref(1) nach \alpha:
\lr(2) | | pdiff(\dsL ',\alpha) = sum((\blue\ pdiff(\dsL,q_i) \black\ (\partial q_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha) + pdiff(\dsL,q^*_i) \red\ (\partial q^*_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha)\black\ ),i=1,f)
Wir bemerken, dass wegen \ref(S1) gilt:

 |     | \blue\ pdiff(\dsL,q_i)\black\ = d/dt pdiff(\dsL,q^*_i)

außerdem:

 |    | \red\ |(\partial q^*_i(q',t,\alpha))/\partial\alpha \black\  = d/dt pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha)

Aus \ref(2) wird somit:
\align
pdiff(\dsL ',\alpha) = sum((pdiff(\dsL,q_i) (\partial q_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha) + pdiff(\dsL,q^*_i) (\partial q^*_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha)),i=1,f)

d/dt (sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f))

\breakalign
Dies gilt für alle \alpha, also auch an der Stelle \alpha=0.
\lr(3) | | pdiff(\dsL ',\alpha)\|_(\alpha=0) = d/dt (sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0),i=1,f))
\light\small\stress\Bemerkung: \normal\small Wir wählen \alpha=0, da dann später beim Rechnen alle Terme, welche von höherer Ordnung als 1 sind, verschwinden. Außerdem gehen die Koordinaten q' wieder in die Koordinaten q über, da per Definition ref(D1) für \alpha=0 die identische Transformation vorliegt.
Wir wollen ab jetzt nur noch solche Transformationen \ref(D1) betrachten, welche die Lagrange-Funktion bis auf die zeitliche Ableitung d/dt einer beliebigen Funktion F in den Variablen q',t und \alpha nicht verändern. Es soll also gelten:
\lr(4) | | \dsL '(q',q^*',t,\alpha) = \dsL(q,q^*,t) = \dsL(q',q^*',t) + d/dt F(q',t,\alpha)
\fedoff
\fedon\mixon\lr(D4)\single\frame\blue\big\Definition__\black\stress (Symmetrietransformationen)\normal
\frameoff\Transformationen \ref(D1) die derart sind, dass \ref(4) gilt, nennt man Symmetrietransformationen__.
Setzen wir \ref(4) in die linke Seite von \ref(3) ein:
\align
pdiff(\dsL ',\alpha)\|_(\alpha=0) = pdiff(\dsL '(q',q^*',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0)

pdiff(\dsL(q',q^*',t),\alpha)\|_(\alpha=0) + d/dt pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0)

0 + d/dt pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0)

\breakalign
Beachten wir die Gleichheit mit der rechten Seite von \ref(3), dann folgt:
\align
d/dt pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0) = d/dt (sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f))\|_(\alpha=0)
\breakalign
Dies ist äquivalent zu:
\align
d/dt ( pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0)- sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f)\|_(\alpha=0)) = 0
\breakalign
Wir folgern:
\lr(5)pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0)- sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f)\|_(\alpha=0) = const.
\ref(5) ist konstant,verändert sich daher zeitlich \stress\nicht\normal\ . Wir haben eine Erhaltungsgröße gefunden!
\fedoff

\fedon\mixon\lr(S2)\red\triple\frame\red\big\Hauptsatz__\black\stress ("Noether-Theorem" der Mechanik)\normal
I:= pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0)- sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f)\|_(\alpha=0)
\frameoff\ | \big\I ist eine Erhaltungsgröße__!
\fedoff

Wir schließen diesen Artikel mit einem Beispiel ab:
\fedon\mixon\single\frame\green\big\Bespiel__ (\black\stress\ Rotation um die z-Achse)
Gegeben sei die Lagrange-Funktion
\lr(B.1) | | \dsL = \dsL (r, r^*, \phi^*, z, z^*) = 1/2 m (r^*^2 + r^2 \phi^*^2 + z^*^2) - V(r,z)
Wir betrachten nun die generalisierten Koordinaten (q_1\,q_1\,q_3)=(r,\phi,z) und die Transformation
\lr(B.2) | | (r,\phi,z) \mapsto (r',\phi\',z')

 |     | (r',\phi\',z') = (r,\phi+\alpha,z)

Diese Transformation entspricht \ref(D1) und stellt eine Rotation um die z-Achse dar.
Die Lagrange-Funktion \ref(B.1) bleibt unter der Transformation \ref(B.2) unverändert. Es gilt daher:

 |     | \dsL(q, q^*, t) = \dsL(q', q^*', t)

Die zeitliche Ableitung von F aus \ref(4) ist daher gleich null:

 |     | d/dt F(q',t,\alpha) = 0

Das Noether-Theorem sagt nun die \blue\big\Erhaltung \normal\black\ des folgenden Ausdrucks voraus:

 |     | I= - sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,3) = - pdiff(\dsL , \phi^*) pdiff((\phi\'-\alpha),\alpha) = m r^2 \phi^*

\frameoff\Dies erkennt das "geübte Auge" sofort als \blue\big\Drehimpuls.
\fedoff

Hinweis: Dieser Artikel ist auch auf Matheplanet.de veröffentlicht

Kategorie: Uni | Physik | Mechanik