Bastian Schaefers Website | Ersetzung Der Zustandssumme Durch Ein Integral

In der statistischen Physik wird häufig die Zustandssumme $\textstyle Z = \sum_n e^{-\beta E_n}$ durch ein Integral der Form $\textstyle \int \dots \omega(\epsilon)\mbox{d}\epsilon$ ersetzt, wobei $\textstyle \omega(\epsilon)$ die Zustandsdichte darstellt.

Leider wird meist nicht näher begründet, warum diese Ersetzung sinnvoll ist. Dies soll in diesem Artikel erfolgen.

In der Zustandssumme $\textstyle Z = \sum_n e^{-\beta E_n}$ wird über die Menge der Energien $\textstyle $M = \{E_n | n\in\mathbb{N}\}$ aller Mikrozustände summiert. Das heißt, es kann vorkommen, dass $E_n = E_m$ für $n \not= m$ . Da wir später die Summe in ein Integral der Form $\textstyle \int \dots \mbox{d}\epsilon$ umwandeln wollen und bei dieser Integration jedes $\epsilon$ (welche die kontinuierliche Repräsentation der $E_n$ sind) nur ein einziges mal erreicht wird, wollen wir auch die Abzählung der Energien $E_n$ umdefinieren.

Wir wollen, dass über jede Energie der Mikrozustände nur ein einziges mal summiert wird und entnehmen die Energien $\epsilon_n$ daher jetzt aus $M' = \{\epsilon_n | n\in\mathbb{N}\}$ wobei wir verlangen, dass $\epsilon_n \not= \epsilon_m$ mit $n \not= m$ für alle $\epsilon_n , \epsilon_m \in M'$ . Die Anzahl der Elemente in $\textstyle M$ sei $\textstyle |M| = N$ . Da wir aber auf diese Weise alle Terme in der Zustandssumme auslassen, welche mehrfach vorkommen (d.h. in welchen die Energie gleich ist), müssen wir uns überlegen, wie oft jeder Energiewert jeweils in $M$ vorkommt.

Sei $\textstyle \Phi(\epsilon)$ die Anzahl der Zuständen welche die Energie $\textstyle \epsilon' \le \epsilon$ besitzen. Dann gibt es $\textstyle \Phi(\epsilon_{n}})-\Phi(\epsilon_{n-1})$ Zustände mit der Energie $\textstyle \epsilon_n$ .

Es folgt also direkt:

$\parstyle \begin{eqnarray*} Z&=&\sum_n e^{-\beta E_n}\\ &=&\sum_{n=1}^{N} e^{-\beta \epsilon_n} \cdot\left(\Phi(\epsilon_n)-\Phi(\epsilon_{n-1})\right) \end{eqnarray*}$

Wir können in guter Näherung annehmen, dass die $\epsilon_n$ dicht zusammen liegen, das heißt die Differenz $\epsilon_{n}-\epsilon_{n-1}$ ist klein. (Anders ausgedrückt, wir wollen eine Aufteilung (Partition $\textstyle P_\epsilon$ ) des Intervalls der Energien derart "fein" wählen können, dass ein $\textstyle A \in \mathbb{R}$ existiert, sodass $\textstyle |Z-A|\le \epsilon$ für alle $\textstyle \epsilon > 0$ für alle Partitionen $\textstyle P$ welche "feiner" gewählt wurden, wie $\textstyle P_\epsilon$ )

Mit dieser Annahme stellt $\textstyle \sum_{n=1}^{N} e^{-\beta \epsilon_n} \cdot\left(\Phi(\epsilon_n)-\Phi(\epsilon_{n-1})\right)$ aber nicht anderes dar, wie die Approximation des Riemann-Stieltjes-Integral (wie immer nehmen wir als Physiker an, dass alle beteiligten Funktionen derart "nett" sind, dass sie auch alle Anforderungen erfüllen, welche die Mathematik fordert). Per Definition schreibt man für dieses Integral $\textstyle \int e^{-\beta \epsilon} \mbox{d}\Phi(\epsilon)$ .

Mit dem Mittelwertsatz kann man zeigen, dass für das Riemann-Stieltjes-Integral gilt:

$\int e^{-\beta \epsilon} \mbox{d}\Phi(\epsilon) = \int e^{-\beta \epsilon} \frac{\mbox{d}\Phi(\epsilon)}{\mbox{d}\epsilon}\mbox{d}\epsilon$

Man kann das Riemann-Stieltjes-Integral also auf ein gewöhnliches Riemann-Integral zurückführen.

Die Zustandsdichte ist aber gerade als Ableitung der Anzahl der Zustände $\Phi(\epsilon)$ bis zur Energie $\epsilon$ definiert:

$\omega(\epsilon) := \frac{\mbox{d}\Phi(\epsilon)}{\mbox{d}\epsilon}$

Damit können wir die Zustandssumme letztlich in guter Näherung wie folgt schreiben:

$\large\boxed{ Z = \sum_n e^{-\beta E_n}\approx \int e^{-\beta \epsilon} \omega(\epsilon) \mbox{d}\epsilon}$

Kategorie: Uni | Physik